Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC
Phần 1: CÔNG THỨC
1. Hệ thức LG cơ bản



2. Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:


Công thức nhân:


Tích thành tổng: cosa.cosb =
[cos(a(b)+cos(a+b)]
sina.sinb =
[cos(a(b)(cos(a+b)]
sina.cosb =
[sin(a(b)+sin(a+b)]
Tổng thành tích:









Công thức hạ bậc: cos2a =
(1+cos2a)
sin2a =
(1(cos2a)
Biểu diễn các hàm số LG theo




3. Phương trìng LG cơ bản
* sinu=sinv
* cosu=cosv(u=(v+k2(
* tanu=tanv ( u=v+k( * cotu=cotv ( u=v+k(
.
4. Một số phương trình LG thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG..
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
.
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt
, ta được: sinx+tan(cosx=


sinx
+
cosx=

sin(x+
)=

.
Cách 2: Chia hai vế phương trình cho
, ta được:


Đặt:
. Khi đó phương trình tương đương:

hay
.
Cách 3: Đặt
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với
.
+ Giả sử cosx(0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý:

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc.
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx( cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx( cosx. Điều kiện ( t (
.






Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:

( cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
( 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
( 2cos5x(cos3x+cosx) = 0
( 4cos5x.cos2x.cosx = 0


Ví dụ 2. Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).
Giải
Ta có (2) ( cos6x(2cos2x(1) = sin6x(1(2sin2x)
( cos2x(sin6x–cos6x) = 0
( cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
( cos2x = 0
(

Ví dụ 3: Giải phương trình:
(3).
Giải
Ta có:


Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:
(4).
Giải
Ta có (4)



Đặt cos22x = t, với t([0; 1], ta có

Vì t([0;1], nên

(cos4x = 0 (

Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)
Giải
Ta có (5) ( 2(1( cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
( (1( cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) ( 1] = 0
( (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0


Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t2 – 1 + 1 = 0 ( t2 + 2t = 0

Vậy nghiệm của