KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN HỆ.
Bài 1. Cho hàm số y =

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Giải.
2/ + Vì
.
Ta có: y’ = 2x3 – 6x

Vậy tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :
.
+ Xét pt :



YCBT khi pt g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a

Bài 2. Cho hàm số
(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải.
2/ Giả sử
mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :



Ta có d(I ;tt) =
.Đặt t =
> 0
Xét hàm số f(t)

ta có f’(t) =
t 0 1

f’(t) = 0 khi t = 1 f’(t) + 0 -
Bảng biến thiên
từ bảng biến thiên ta có f(t)

d(I ;tt) lớn nhất khi và
chỉ khi t = 1 hay


+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4
Bài 3. Cho hàm số
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Giải.
2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có

Trung điểm I của AB: I

Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0
Có :
=>

Bài 4. Cho hàm số
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số đã cho.
2. Biện luận theo tham số
số nghiệm của phương trình
.
Giải.
2. Đồ thị hàm số
gồm phần nằm phía trên Ox và đối xứng của phần nằm phía dưới Ox qua Ox của đồ thị (C);
là đường thẳng song song với Ox. Từ đó ta có kết quả:
*
: phương trình có 8 nghiệm,
*
: phương trình có 6 nghiệm,
*
: phương trình có 4 nghiệm,
*
: phương trình có 3 nghiệm,
*
: phương trình có 2 nghiệm.
Bài 5. Cho hàm số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất .
Giải.
2. Nếuthì tiếp tuyến tại M có phương trình hay
. Khoảng cách từ tới tiếp tuyến là Theo bất đẳng thức Côsi , vây Khoảng cách d lớn nhất bằng khi

Vậy có hai điểm M : hoặc
Bài 6. Cho hàm số
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Cho điểm A(0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
Giải.
2. Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:
có nghiệm

Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:

Để (4) có 2 nghiệm
là:

Hoành độ tiếp điểm
là nghiệm của (4)
Tung độ tiếp điểm là
,

Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là: