CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một con tàu chuyển động từ bờ bên này sáng bờ bên
kia của một dòng sông với vận tốc riêng không đổi.
Giả sử vận tốc dòng nước là không đổi và đáng kể,
các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng đến vận
tốc thực tế của tàu. Nếu không quan tâm đến điểm
đến thì cần giữ lái cho tàu tạo với bờ sông một góc
bao nhiêu để tàu sang bờ bên kia được nhanh nhất?

• Vận tốc thực tế của tàu phụ thuộc vào
những vận tốc nào?
• Hướng của tàu đi có theo hướng ban đầu
không, hay theo một hướng khác?

BÀI 8: TỔNG VÀ HIỆU
CỦA HAI VECTƠ (2 Tiết)

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Tổng của hai vectơ

2. Hiệu của hai vectơ

Tiết 1

1. Tổng của hai vectơ
HĐ1

Với hai vectơ , cho trước, lấy một điểm A và vẽ các
vectơ = , = . Lấy điểm A' khác A và cũng vẽ các
vectơ = , = . Hỏi hai vectơ và có mối quan hệ gì?

⃗
⃗
𝐴𝐶= 𝐴' 𝐶 '

Chú ý

Để tính được tổng hai vectơ và ta có thể phải vẽ thêm
vectơ sao cho điểm cuối của vectơ này là điểm đầu của
vectơ kia.

Định nghĩa:
• Cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý và vẽ .
Khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ
và và được kí hiệu là .
• Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép
cộng vectơ.

HĐ2
Cho hình bình hành ABCD.
Tìm mối quan hệ giữa hai
vectơ + và .

Vậy

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có + = .
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình bình hành thì + =

HĐ3
a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ
+ và vectơ + .
b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ
( + ) + và vectơ + ( + )
Giải

a) ;
b)

⃗ +( ⃗
⃗ )=⃗
𝑎
𝑏+ 𝑐
𝐴𝐵+ ⃗
𝐵𝐷=⃗
𝐴𝐷

Với ba vectơ tùy ý:
 Tính chất giao hoán: ;
 Tính chất kết hợp:
 Tính chất của vectơ-không: .

Chú ý
Do các vectơ và bằng nhau, nên ta còn viết
chúng dưới dạng và gọi là tổng của ba vectơ .
Tương tự, ta cũng có thể viết tổng của một số
vectơ mà không cần dùng các dấu ngoặc.

Ví dụ 1:

Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng 1. Tính
độ dài các vectơ + , + + .

Giải

B

C

A

D

Do = nên + = + =
Vậy | + | = || = DB =
Ta có + + = ( + ) + = + =
Do đó | + + | = || = AC =

Hoạt động nhóm đôi, hoàn thành Luyện tập 1
Luyện tập 1: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ
dài bằng 1 và = 120o. Tính độ dài của các vectơ
+, + +.

Giải

Do ABCD là hình thoi có nên các tam giác ABC, ADC là các
tam giác đều. Do đó CA = CB = CD = 1. (1)
• Tính độ dài của vectơ :
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: .
.

Hoạt động nhóm đôi, hoàn thành Luyện tập 1
Luyện tập 1: Cho hình thoi ABCD với cạnh có độ
dài bằng 1 và = 120o. Tính độ dài của các vectơ
+, + +.

Giải

• Tính độ dài của vectơ :
Do tính giao hoán và tính kết hợp của phép cộng vectơ, nên:

.

2. Hiệu của hai vectơ

Hai đội kéo co bất phân thắng bại!

HĐ4

Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ
để biểu diễn hai lực cân bằng thì hai vectơ này có
mối quan hệ gì với nhau?

Giải
• Hai lực cân bằng là hai lực mạnh như nhau,
có cùng phương nhưng ngược chiều, tác dụng
vào cùng một vật.
• Hai vectơ sẽ ngược hướng nhau, điểm đầu
của vectơ này là điểm cuối của vectơ kia và có
độ dài bằng nhau.

Định nghĩa
 Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ được gọi là
vectơ đối của vectơ . Vectơ đối của được kí hiệu là .
 Vectơ được coi là vectơ đối của chính nó.
• Vectơ đối của vectơ là vectơ nào?
• Nhận xét về tổng của hai vectơ đối nhau?
• Cho , hãy chứng minh là vectơ đối của .

Chú ý

Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng .

Định nghĩa:
Vectơ + (-) được gọi là hiệu của hai vectơ và và được kí hiệu là .
Phép lấy hiệu hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
ý
ú
h
C

Nếu thì
Với ba điểm O, M, N tùy ý, ta có:
= + = (-) + = -

Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N ta có
Quy tắc hiệu sử dụng để tính hiệu hai vectơ có
chung điểm đầu.
Ví dụ 3:
Giải

Cho hình bình hành ABCD và một điểm O bất kì.
Chứng minh rằng - = -

Áp dụng quy tắc hiệu, ta có - = ; - =
Mặt khác = nên - = - .

Ví dụ 3:
a) Chứng minh rằng nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì + =
b) Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì + + =

Giải
a) Khi I là trung điểm của AB thì hai vectơ có cùng độ dài và
ngược hướng. Do đó, và đối nhau, suy ra + = .
A

I

B

b) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trung tuyến AI và GS = 2GI. Lấy
điểm D đối xứng với G qua I. Khi đó, tứ giác GBDC có hai đường chéo
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là một hình bình hành. Ta
có: GA = 2GI = GD.
Hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên
chúng là vectơ đối nhau, do đó + = .
Trong hình bình hành GBDC, ta có + = .
Vậy + + = .

Ghi nhớ
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì .

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành Luyện tập 2.

Tiết 2

Gợi ý
Luyện tập 2: Cho tứ giác ABCD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

Cách 1: Sử dụng quy tắc hình

các cạnh AB, CD và O là trung

bình hành.

điểm của MN. Chứng minh rằng +

Cách 2: Sử dụng tính chất

++=.

của trung điểm đoạn thẳng
của bài trước.

Giải
Cách 1: Sử dụng quy tắc hình bình hành
Lấy K và L lần lượt đối xứng với O qua M và N. Khi đó các tứ giác AOBK,
CODL là các hình bình hành.
Hơn nữa, do O là trung điểm của MN nên OK = 2OM =
2ON = OL, do đó O cũng là trung điểm của KL. Suy ra .
Từ đó suy ra

Cách 2:
Do M là trung điểm của AB nên ta có:

Hay
Tương tự ta có:
Từ đó suy ra:

Chú ý
Phép cộng vectơ tương ứng với các quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc:
 Nếu hai lực cùng tác động vào chất điểm A và được biểu diễn bởi các vectơ
thì hợp lực tác động vào A được biểu diễn bởi vectơ .
 Nếu một con thuyền di chuyển trên sông với vận tốc riêng (vận tốc so với
dòng nước) được biểu diễn bởi vectơ và vận tốc của dòng nước (so với
bờ) được biểu diễn bởi vectơ thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ)
được biểu diễn bởi vectơ .

Ví dụ 4:

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải
Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng
song song d1, d2.
Giả sử tàu xuất phát từ A d1 và bánh lái luôn
được giữ để tàu tạo với bờ góc . Gọi và lần
lượt là vectơ vận tốc riêng của tàu và vận tốc
dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho = ,
=.

Khi đó, tàu chuyển động với vectơ thực tế là
=+ = + =.
Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d2. Tàu chuyển động thẳng
từ A đến B với vectơ vận tốc thực tế , do thời gian cần thiết để tàu sang
được bờ d2 là = .
Mặt khác, AM = || không đổi nên nhỏ nhất AC nhỏ nhất AC d 2 AM d2.
Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để tàu
luôn vuông góc với bờ.

Vận dụng: Tính lực kéo cần thiết một khẩu
Thảo luận nhóm 4,

pháo có trọng lượng 22148 N (ứng với khối

hoàn thành Vận dụng.

lượng xấp xỉ 2260 kg) lên một con dốc
nghiêng 30o so với phương nằm ngang.
Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N, thì
cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Giải
Lực tổng hợp của trọng lực và phản lực là lực theo phương dốc,
hướng từ đỉnh dốc xuống chân dốc, có độ lớn bằng = 11074 (N). Bởi
vậy, để kéo được pháo lên dốc, lực kéo cần phải có độ lớn lớn hơn độ
lớn của lực . Và do đó =11074 (N).
Do nên nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì
cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên dốc.

LUYỆN TẬP
Bài 4.6 (SGK - tr54): Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
a) + + + = ;
Giải

a) Xét vế trái:

b) - = b) Xét vế trái:
Vế phải:

Vậy

Vậy =

Bài 4.7 (SGK - tr54): Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để
= + . Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ và .
Giải

Giả sử tìm được điểm thoả mãn .
Khi đó, theo quy tắc hình bình hành ta được . Từ đó, theo kết
quả Bài tập 4.3, tứ giác là một hình bình hành. Vậy điểm cần
tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh .
Do tứ giác là hình bình hành nên . (1)
Do tứ giác là hình bình hành nên . (2)
Từ (1) và (2) suy ra và là hai vectơ đối nhau.

Bài 4.8 (SGK - tr54): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.
C

Tính độ dài của các vectơ - , + .

D
I

Giải

Dựng hình bình hành ABDC có:

A

B

Gọi I là giao của AD và CB, AD = 2AI. Vì tam giác ABC là tam giác
đều nên AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam
giác ABC, ta có:
Vậy .

VẬN DỤNG
Bài 4.9 (SGK - tr54). Hình 4.19 biểu diễn hai lực , cùng tác động lên một
vật, cho || = 3N, || = 2N. Tính độ lớn của hợp lực + .

Giải

Vectơ biểu diễn cho lực , vectơ biểu diễn
cho lực và vectơ biểu diễn cho hợp lực .

Trong tam giác có
và .
Theo định lí côsin, ta có
.

Bài 4.10 (SGK - tr54). Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang
bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng
nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc
nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng
nguồn (hình bên).
Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên
ngoài không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu.
Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Giải

Biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d1 và d2.
Giả sử tàu thứ nhất xuất phát từ A hướng về hạ lưu và tàu
thứ hai xuất phát từ B hướng về thượng nguồn.
Ta sử dụng các vectơ để biểu diễn cho
vận tốc của dòng nước, vận tốc riêng của
tàu thứ nhất và tàu thứ hai.
Lấy các điểm sao cho . Từ giả thiết suy
ra tứ giác là một hình thang cân.

Lấy các điểm sao cho . Khi đó cùng nằm trên một đường thẳng song song với và
các vectơ tương ứng biểu diễn cho vận tốc thực của tàu thứ nhất và tàu thứ hai.

Khi đó tàu thứ nhất chuyển động theo hướng đến
đích là điểm và tàu thứ hai chuyển động theo hướng
và đến đích là điểm bên bờ đối diện.
Do các đường thẳng đôi một song song, nên theo
định lí Thales . Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau
để sang được đến bờ bên kia.

Bởi vậy cả hai tàu sang đến
bờ bên kia cùng một lúc.

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho 4 điểm bất kỳ . Đẳng thức nào sau đây
là đúng?
A.

C.

B. .

D.

Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Khẳng định nào sau
đây là đúng?

A.

C.

B.

D.

Câu 3: Cho bốn điểm phân biệt. Khi đó vectơ bằng:

A.

C.

B.

D.

Câu 4: Cho hình vuông có cạnh bằng . Khi đó bằng:

A.

C.

B.

D.

Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm là G. Phát biểu
nào là đúng?

A.

C.

B.

D.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

1. Ôn tập kiến thức đã học

2. Hoàn thành bài tập
trong SBT

3. Chuẩn bị bài mới “Tích
của một vectơ với một số”

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ THEO DÕI BÀI GIẢNG!