NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG
CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
“Hãy tưởng tượng rằng chúng ta là một nhóm kiến trúc sư và có nhiệm vụ thiết kế một căn
nhà. Để bắt đầu, chúng ta cần xác định đường thẳng để xây móng và vẽ mặt phẳng để biểu
diễn các phòng trong căn nhà. Sử dụng các khái niệm hình học trong toán học, chúng ta có
thể tính toán và vẽ các đường thẳng và mặt phẳng này.
Nếu các em là một kiến trúc sư trong nhóm, cùng nhau áp dụng kiến thức hình học không
gian giữa đường thẳng và mặt phẳng trong toán học để xác định và vẽ các đường thẳng và
mặt phẳng này. Chúng ta sẽ tạo ra một bản thiết kế chính xác và hợp lý cho căn nhà của
mình.
Vậy cách vẽ, cách xác định mặt phẳng và đường thẳng trong không gian như thế nào? Mối
quan hệ giữa chúng là gì để ta có thể vẽ được bản thiết kế?”.

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

1

NỘI DUNG
BÀI HỌC

Khái niệm mở đầu

2
Các tính chất thừa nhận

3

NỘI DUNG
BÀI HỌC

Cách xác định một mặt
phẳng

4
Hình chóp và hình tứ diện

KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1

• Mặt bảng, màn hình máy tính hay mặt nước lúc tĩnh lặng là một số
hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và
không có giới hạn.

Chú ý:
- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết
tên của mặt phẳng vào một góc của hình. Ta cũng có thể sử dụng
một góc và viết tên của mặt phẳng ở bên trong góc đó.
- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái
in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong
dấu ngoặc ( ). Trong hình 4.1 ta có
mặt phẳng (P) và mặt phẳng .

Câu hỏi:
Hãy tìm một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế
Gợi ý:
Một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế: mặt bàn, mặt
gương phẳng, mặt sàn phẳng, trần nhà phẳng,...

HĐ1
Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc
một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình
ảnh đó.

Ví dụ

Một chấm mực trên tờ giấy trắng

KẾT LUẬN:
• Điểm A thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu .
• Điểm B không thuộc mặt phẳng (P), kí hiệu .
Nếu ta còn nối A nằm trên (P), hoặc (P) chứa A, hoặc (P)
đi qua A.

Chú ý:
-

Để nghiên cứu hình học không gian, ta thường vẽ các hình đó lên bảng hoặc lên giấy. Hình vẽ đó
được gọi là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn của một hình không gian cần
tuân thủ những quy tắc sau:

-

Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

-

Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường
thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường
thẳng cắt nhau.

-

Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và
đường thẳng.

-

Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị
che khuất. Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.

CÁC TÍNH CHẤT
THỪA NHẬN

2

HĐ2
Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy
thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai
điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng
đi qua hai điểm A,B hay không?
Giải
Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm A, B đã cho
ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.

KẾT LUẬN:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân
biệt.

Câu hỏi:
Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không
thẳng hàng?

Gợi ý:

Cho 3 điểm không thẳng hàng, để tạo
được 1 đường thẳng từ 2 trong 3 điểm đó,
ta lấy 2 điểm bất kì và xác định đường
thẳng đi qua 2 điểm đó. Khi đó số đường
thẳng tạo thành 3 đường thẳng.

HĐ3
- Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và
bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.
a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ
đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của
khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?
b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó
đều nằm trên mặt bàn hay không?

Giải

a) Khi đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt
màu đỏ đều nằm trên mặt bàn, mặt màu đỏ của
khối rubik nằm trên mặt bàn.
b) Không thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của
nó đều nằm trên mặt bàn.

KẾT LUẬN:
•

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

•

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét:
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng
thuộc mặt phẳng đó. Ta kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng
hàng A, B, C là (ABC). Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng
thì ta nói những điểm đó đồng phẳng. Nếu không có mặt phẳng nào
chứa các điểm đó thì ta nói những điểm đó không đồng phẳng.

Câu hỏi:
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?
Trả lời:
Qua ba điểm thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường thẳng.
Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi
qua ba điểm thẳng hàng.

Ví dụ 1

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng (H.4.5). Có bao
nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?
Giải
Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã
cho, đó là các mặt phẳng (DAB), (DAC), (DBC)
và (ABC).

Luyện tập 1
Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của
tứ giác đó?
Giải
Vì 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm
A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy
nhất là mặt phẳng (ABCD).
Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vận dụng 1
Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân
như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi,…

Giải:

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Do đó, khi
thiết kế các đồ vật gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng
ba chân treo nổi,... ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ
trên các bề mặt bởi vì các ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm
không thẳng hàng.

HĐ4
Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó,
sợi dây nằm trên mặt bàn hay không?
Giải
Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi
dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây
nằm trên mặt bàn.

KẾT LUẬN
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất
cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
• Chú ý:
Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói
đường thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Khi đó ta kí hiệu là
hoặc .

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc đường thẳng BC (H.4.6).

a) Điểm M có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
b) Đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) hay không?

Giải
a) Đường thẳng BC có hai điểm phân biệt B, C
thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng BC
nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì M thuộc đường
thẳng BC nên M thuộc mặt phẳng (ABC).

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc đường thẳng BC (H.4.6).

a) Điểm M có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
b) Đường thẳng AM có nằm trong mặt phẳng (ABC) hay không?

Giải
b) Đường thẳng AM có hai điểm phân biệt A, M thuộc
mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AM nằm trong
mặt phẳng (ABC).

Luyện tập 2

Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M.

Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
Giải
Đường thẳng AB có hai điểm phân biệt A, B
thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AB
nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì N thuộc đường
thẳng AB nên N thuộc mặt phẳng (ABC).

Luyện tập 2

Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N

khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
Giải
Ta có điểm M thuộc mặt phẳng (ABC).
Khi đó đường thẳng MN có hai điểm phân
biệt M, N thuộc mặt phẳng (ABC) nên
đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng
(ABC).

HĐ5

Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường

thẳng hay không?
Giải:
Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể
giao nhau theo đường thẳng.

KẾT LUẬN
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai
mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Chú ý:
Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và
(Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là:
.

Ví dụ 3
Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC (H.4.8).
a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SBN),
(SCM) và khác điểm S.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM) có
đi qua trọng tâm của tam giác ABC hay không?

Giải

a) Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến BN và
CM cắt nhau tại trọng tâm G của tam giác.
Điểm G thuộc BN nên cũng thuộc mặt phẳng (SBN).
Điểm G thuộc CM nên cũng thuộc mặt phẳng (SCM).
Vậy G là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBN)
và (SCM).

Giải

b) Vì S, G là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và
(SCM) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường
thẳng SG.
Đường thẳng này đi qua trọng tâm G của tam giác
ABC.

Nhận xét:
Hai đường trung tuyến trong một tam giác cắt nhau tại trọng tâm của tam giác
là một tính chất đã được học trong hình học phẳng. Trong ví dụ trên, tính chất
này đã được áp dụng cho tam giác ABC trong mặt phẳng (ABC)đường thẳng đã
cho.
Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học
phẳng đều đúng.

Luyện tập 3
Trong ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
Giải
Ta có hai đường thẳng BM và CN cắt nhau tại
điểm A.
Do đó, điểm A thuộc đường thẳng BM nên cũng
thuộc mặt phẳng (SBM), điểm A thuộc đường
thẳng CN nên cũng thuộc mặt phẳng (SCN).
Vậy A là một điểm chung của hai mặt phẳng
(SBM) và (SCN).

Luyện tập 3
Trong ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
Giải

Vì S và A là hai điểm chung của hai mặt phẳng
(SBM) và (SCN) nên giao tuyến của hai mặt
phẳng này là đường thẳng SA.
Ta viết SA = (SBM) ∩ (SCN).

CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT
MẶT PHẲNG

3

Kết quả:
Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba
điểm không thẳng hàng.

HĐ6
Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm
phân biệt B, C (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay
không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên
đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa
đường thẳng d. Điểm A thuộc mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa
điểm A.
Mặt phẳng (ABC) chứa các điểm A, B, C nên mặt phẳng (ABC) chứa hai
đường thẳng AB và BC.

KẾT LUẬN
• Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và
chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
• Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường
thẳng cắt nhau.
Chú ý:
Mặt phẳng được xác định bởi điểm A và đường thẳng d không chứa
A được kí hiệu là mp(A, d). Mặt phẳng được xác định bởi hai đường
thẳng cắt nhau a và b được khí hiệu là mp(a, b).

Ví dụ 4

Cho hai đường thẳng cắt nhau a, b và gọi S là một điểm không
thuộc mp (a, b) (H.4.10). Xác định giao tuyến của mp(S, a) và mp(S,
b).
Giải
Gọi M là giao điểm của a và b.
Vì M thuộc a nên M thuộc mp(S, a).
Vì M thuộc b nên M thuộc mp(S, b).
Hai điểm S, M cùng thuộc mp(S, a) và mp(S, b) nên
giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng
SM.

Luyện tập 4
Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao
tuyến của hai mặt phẳng: mp (S, a) và mp (S, c); mp (S, b) và mp (S, c).
Giải
Gọi L là giao điểm của a và c, K là giao điểm của
b và c.
Vì L thuộc a nên L thuộc mp(S, a).
Vì L thuộc c nên L thuộc mp(S, c).

Giải
Hai điểm S và L cùng thuộc mp(S, a) và mp(S, c) nên
giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SL.
Vì K thuộc b nên K thuộc mp(S, b).
Vì K thuộc c nên K thuộc mp(S, c).
Hai điểm S và K cùng thuộc mp(S, b) và mp(S, c) nên
giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SK.

Vận dụng 2
Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh (do mở
cửa quá mạnh hoặc do gió to đập cửa), người ta thường sử dụng
một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại
sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì
cánh cửa được giữ cố định.

Giải
Phụ kiện hít cửa nam châm đại diện cho 1
điểm cố định, một cạnh của cánh cửa đại
diện cho một đường thẳng không chứa
điểm phụ kiện hít cửa nam châm. Chính vì
vậy có một mặt phẳng được xác định khi
phụ kiện hít cửa và một cạnh của cánh cửa,
khi đó cánh cửa luôn được giữa cố định.

HÌNH CHÓP VÀ
HÌNH TỨ DIỆN

4

HĐ7

Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác

đều mà em đã học ở lớp 8?

Giải
Các hình ảnh đã cho đều có các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.